Buffon's Needle Problem
歡迎來到奇異鳥的奇異世界，我是kiwibird。不知道大家小時候最喜歡玩什麼呢，在我們那個年代還沒有智慧型手機、平板或是switch可以玩的年代，大家最喜歡玩的就是大富翁、撲克牌、拼圖的遊戲，那除了這些以外我最喜歡玩的就是疊疊樂這個遊戲了。
在一般的疊疊樂的玩法就是要輪流在交錯的積木中抽出積木，直到讓積木塔倒下的人就是輸家。而在抽積木的過程中除了要考慮積木的角度和摩擦力的大小更要考慮系統質心的位置改變，可說是一個看似簡單卻實質複雜的物理問題。
好，不過我們今天的重點不是疊疊樂，而是大家從小都幹過的蠢事，會把積木或是硬幣一層層的往上往外堆。像這樣，那這個有趣的遊戲在小時候可能是個好玩的挑戰，但隨著長大以後這就變成高中物理課本裡面討厭的考試題目了
那這樣的物理問題可能對於高中畢業的同學來說已經是在簡單不過的問題了，其實就只是每一層的質心都必須在下層的底部以內，這樣才能一層一層的將積木堆疊而不至於傾倒。那在高中的時候我們往往都只考慮兩層的積木，了不起就三層積木，那你有想過：有辦法堆四層嗎? 五層? 還是可以無止境地 ``\textbf{\textit{往上往外''}} 堆上去呢?
那這個問題的答案是令人十分意外的，若是不斷的將均勻且長度相同的積木堆疊，積木向外延伸的距離可以到無限遠且不會倒塌，只要巧妙的安排每層之間向外位移的距離，我們就可以無止境的向外向上堆疊下去，甚至我們可以用這樣的方法做成任意距離的拱橋呢！說到這裡，充滿好奇心的你們絕對不可能輕易相信，現在我們就趕緊證明這個看似合理又違反直覺的積木堆疊問題吧！
首先我們要證明這個有趣的現象之前，我們在重申一次我們題目的條件和狀況：
那這個問題的解法全部都基於最單純的物理條件：
每一層之上層群體的質量中心(質心)必須落在下層的區域內，否則會倒塌。
因此我們只要遵守這樣的假設，就可以一層層的往上堆我們的積木塔了！現在就開始吧！不過我們這邊比較有技巧性的作法是一層層的往下堆，跟一般直覺的做法是一層層往上堆有點不同。最關鍵的原因是我們希望每一層上半部的質心都要落在下層的邊界內，因此往下堆疊的方式想會比較容易。
現在我們在簡單的建立一下一些物理量的代號來描述這樣的系統吧。在這個系統當中第一個積木a1與下一層積木a2的位移我們以x1表示，而第一個積木a1的質心距離第一個積木a1左邊的距離以c1表示。在理解這樣的代號以後，我們可以推廣到第n層與第n+1層之間的關係；一樣以xn表示第n層與第n+1層積木間的位移，接著要注意的是我們的cn指的是第n層以上``整體''的共同質心距離第n層積木左邊的距離。而cn的距離不再像c1一樣是 $\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{2}}$ 了，因為cn的位置是隨著第1層至第n層排列的位置共同決定的，因此圖示所繪的CM已經偏離第n層的中心
那首先呢，我們先從簡單的情形觀察堆疊的策略，歸納出一點規律在寫成數學式子吧！
我們先考慮最簡單的狀況，疊兩層的情形：對於第一層的積木$a_1$來說，其質心一定是在積木的中心，那我們只要保持第一層的質心落在第二層的邊界內，就可以隨意移動第一層積木的位置(a)，那我們很快就可以發現第一層能達到的最大位移就是讓把質心控制在第二層的邊界上(b)，若是超過了上層的積木就會倒塌(c)
在理解這樣的原理以後，我們可以發現若是要儘可能的向外堆積木時又不至於讓積木倒塌的方法就是讓質心落再下層積木的邊界上，若是我們把剛剛質心的距離c1以及位移x1的symbol標示在(b)上就會如下圖
因此我們很快就可以發現第一條有用的關係式
\[x_1+c_1=Block\ Width=L\]
那這個關係式看起來很智障沒錯，但是接下來你就會發現他的功用了！
有了這樣的圖像以後我們也可以推廣且猜測第n層第n+1層最大位移的關係如下
很快得我們也得到類似的關係式了
\[x_n+c_n=L\]
也就是說只要滿足此式我們就可以保持積木不會倒塌，同時又能得到最大的位移量
那在有了這樣的關係式以後，我們現在思考一下質心位置隨著不同層數的改變又會是怎麼樣呢？從最一開始來想，$c_1=\frac{L}{2}$，然後隨著層數增加Cn開始變化，因此我們來考慮Cn是怎麼來的。Cn的位置是由第N-1層的積木塔Cn-1的位置與質心位在L/2的第N層的積木共同組合成的，因此我們可以把Cn的數值以Cn-1和N等變數表示。
因此這些積木所組合成的新質心CM'位置就是n-1層的積木們與第n層積木的加權平均，因此可以寫成
\[C^'_M=\frac{1\times C_{M,n}+\left(N-1\right)\times C_{M,n-1}}{1+\left(N-1\right)}\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1\times C_{M,n}+\left(N-1\right)\times \left(x_{n-1}+c_{n-1}\right)}{1+\left(N-1\right)}\]
\[=\ \frac{\frac{L}{2}+\left(N-1\right)L}{N}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]
\[=\ \frac{L}{2N}+\left(1-\frac{1}{N}\right)L\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]
\[=\ c_n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]
在利用等式
\[x_n+c_n=L\mathrm{\ \ ,\ }c_n=L-x_n\]
因此得到
\[\ \frac{L}{2N}+\left(1-\frac{1}{N}\right)L=L-x_n\]
\[\frac{L}{2N}-\frac{L}{N}=L-x_n\]
馬上就得到了
\[x_n=\frac{L}{N}\]
那要計算第n層積的積木塔與第n+1層的積木結合後新的質心位置只要帶入質心公式即可
\[{\mathrm{C}}^{\mathrm{'}}_{\mathrm{M}}=\frac{1\times C_{M,n+1}+N\times \left(x_n+c_n\right)}{1+N}=\frac{\frac{L}{2}+NL}{N+1}=\frac{L}{2\left(N+1\right)}+\frac{NL}{N+1}=c_{n+1}\]
在利用等式
\[x_{n+1}+c_{n+1}=L\mathrm{\ \ ,\ }c_{n+1}=L-x_{n+1}\]
因此得到
\[\frac{L}{2\left(N+1\right)}+\frac{NL}{N+1}=L-x_{n+1}\]
\[\frac{L}{2}+NL=\left(L-x_{n+1}\right)\left(N+1\right)\]
\[\frac{L}{2}+NL=NL+L-Nx_{n+1}-x_{n+1}\]
\[x_{n+1}=\frac{L}{2\left(1+N\right)}\]
類似的方法因此我們可以歸納得到
\[x_n=\frac{L}{2N}\]
那當$n=1$時
\[x_1=\frac{L}{2}\]
也和我們的直覺相符
那我們可以繼續用這個公式衍生出第二層和第三層的位移量、第三層和第四層的位移量等等
\[x_2=\frac{L}{4}\mathrm{\ ,\ }x_3=\frac{L}{6}\mathrm{\ ,\ }x_4=\frac{L}{8}\mathrm{\dots }\]
因此最後我們就可以得類似這樣的結果依序往下疊下去，而且積木塔不會倒，同時又能往外延伸最多的樣子！
那最後呢，有趣的事情我們可以發現向外延伸的距離L即為這些延伸的加總，而且恰為調和級數
\[\mathrm{L=}\sum^{\infty }_{k=1}{\frac{L}{2k}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{2}}\sum^{\infty }_{k=1}{\frac{1}{k}}\to \infty \]
也就是說，我們會發現若是以調和級數這樣的方式堆疊積木，除了可以保持積木塔的平衡，積木向外延伸的距離 還可以到達無限遠的呢！ 很不可思議吧 XD
若是我們把積木延伸的距離和積木疊的數量作圖，可以發現一開始上升的很快，僅需要三個積木就可以延伸一塊積木的距離，而延伸兩塊積木的距離大約需要10塊積木、那如果要延伸三塊積木的距離則需要30塊積木，若是要延伸到4塊積木的距離則需要花到80塊積木。可見向外延伸的速率越來越慢，但是不會收斂。
最後我們來拿真實的積木測試看看，和剛剛計算的積木問題做比較吧！首先呢我先把要疊的積木依序編號，分別代表的是第一層、第二層{\dots}.一直到的10層，接下來，利用直尺在第二層的1/2處做記號，第三層的1/4做記號，的四層的1/6做記號{\dots}依序下去。最後再由的10層開始往上依序堆疊，並控制每一層的積木都落在剛剛的記號上。瞧，這樣的方法，是不是可以保持平衡又同時盡可能的讓積木塔又延伸的又遠呢？
那如果我有無限個積木，就可以無止境的堆疊下去了呢，是不是很酷呢XD
看完以上的分析推導和實驗，不知道大家有沒有覺得很驚艷的感覺呢？從原本看似高二簡單的物理題目，經過了一點分析和推廣，最後搭配了微積分級數發散的觀念，我們成功證明了以調和級數堆疊的方式，除了可以保持平衡外還可以讓積木塔無止境的堆上去呢！
好啦， 那以上是這集有關疊積木問題的討論和分析，那有問題的話歡迎在下面留言和大家一起討論，如果覺得有趣的話，不妨分享給在念高中物理的同學吧。希望這個有趣的小問題，可以讓大家找到科學的感動，那我是kiwibird我們下集再見啦